حل تمرین صفحه 48 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای اثبات این قضیه، از هم‌نهشتی مثلث‌های ایجاد شده توسط قطرها استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** چهارضلعی $ABCD$ یک متوازی‌الاضلاع است. (این یعنی $AB \| DC$ و $AD \| BC$) * **حکم (Conclusion):** قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند. (یعنی $OA = OC$ و $OB = OD$) **اثبات:** برای اثبات، هم‌نهشتی دو مثلث متقابل $AOB$ و $COD$ را نشان می‌دهیم. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ AB = DC $ | **(ضلع)** طبق خاصیت متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو با هم برابرند. | | ۲) $ \angle OAB = \angle OCD $ ($ \hat{A}_۱ = \hat{C}_۱ $) | **(زاویه)** قضیه‌ی خطوط موازی و مورب ($AB \| DC$ و مورب $AC$). این دو زاویه متبادل داخلی هستند. | | ۳) $ \angle OBA = \angle ODC $ ($ \hat{B}_۱ = \hat{D}_۱ $) | **(زاویه)** قضیه‌ی خطوط موازی و مورب ($AB \| DC$ و مورب $BD$). این دو زاویه نیز متبادل داخلی هستند. | | ۴) $ \triangle AOB \cong \triangle COD $ | به حالت هم‌نهشتی **دو زاویه و ضلع بین (زض‌ز)**. | | ۵) $ OA = OC $ و $ OB = OD $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: برای اثبات برابری قطرها در مستطیل، از هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه‌ای که توسط قطرها ساخته می‌شوند، استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** چهارضلعی $ABCD$ یک مستطیل است. * **حکم (Conclusion):** قطرهای $AC$ و $BD$ با هم برابرند ($AC = BD$). **اثبات:** دو مثلث $ABC$ و $DAB$ را در نظر می‌گیریم. این دو مثلث در ضلع $AB$ مشترک هستند. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ BC = AD $ | **(ضلع)** در مستطیل (که نوعی متوازی‌الاضلاع است)، اضلاع روبه‌رو با هم برابرند. | | ۲) $ \angle B = \angle A = ۹۰^\circ $ | **(زاویه)** طبق تعریف مستطیل، تمام زوایای آن قائمه هستند. | | ۳) $ AB = AB $ | **(ضلع)** ضلع مشترک هر دو مثلث است. | | ۴) $ \triangle ABC \cong \triangle DAB $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**. | | ۵) $ AC = BD $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع سوم آنها (که همان وترها و قطرهای مستطیل هستند) نیز با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: این مسئله به بررسی ویژگی‌های مهم میانه وارد بر قاعده در مثلث متساوی‌الساقین می‌پردازد. * **فرض:** ۱. $ \triangle ABC $ متساوی‌الساقین است ($ AB = AC $). ۲. $AM$ میانه است ($ BM = CM $). **۱. حالت هم‌نهشتی مثلث‌های AMB و AMC:** | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ AB = AC $ | **(ضلع)** طبق فرض (ساق‌های مثلث متساوی‌الساقین) | | ۲) $ BM = CM $ | **(ضلع)** طبق فرض ($AM$ میانه است) | | ۳) $ AM = AM $ | **(ضلع)** ضلع مشترک | | ۴) $ \triangle AMB \cong \triangle AMC $ | به حالت هم‌نهشتی **سه ضلع (ض‌ض‌ض)**. | **۲. چرا AM نیمساز زاویه‌ی $ \hat{A} $ است؟** از هم‌نهشتی مثلث‌ها ($ \triangle AMB \cong \triangle AMC $) نتیجه می‌شود که اجزای متناظر آنها با هم برابرند. زاویه‌ی $ \angle BAM $ در مثلث اول متناظر با زاویه‌ی $ \angle CAM $ در مثلث دوم است. بنابراین: $ \angle BAM = \angle CAM $ این برابری به این معناست که $AM$ زاویه‌ی $ \hat{A} $ را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده، پس **$AM$ نیمساز است**. **۳. چرا AM بر BC عمود است؟** از همان هم‌نهشتی، زاویه‌ی $ \angle AMB $ در مثلث اول متناظر با زاویه‌ی $ \angle AMC $ در مثلث دوم است. پس: $ \angle AMB = \angle AMC $ از طرفی، این دو زاویه روی خط راست $BC$ قرار دارند و مکمل یکدیگرند، یعنی مجموع آنها $۱۸۰^\circ$ است: $ \angle AMB + \angle AMC = ۱۸۰^\circ $ چون این دو زاویه با هم برابرند، هر کدام باید نصف $۱۸۰^\circ$ یعنی $۹۰^\circ$ باشند. $ \angle AMB = \angle AMC = ۹۰^\circ $ این برابری به این معناست که **$AM$ بر $BC$ عمود است**.

پاسخ تشریحی: **بله**، اندازه‌ی دو پاره‌خط مماس که از یک نقطه‌ی خارجی بر دایره رسم می‌شوند، با هم برابر است. این موضوع را با هم‌نهشتی مثلث‌ها ثابت می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $MA$ و $MB$ از نقطه‌ی $M$ بر دایره مماس هستند. ۲. $O$ مرکز دایره است. * **حکم (Conclusion):** $ MA = MB $ **اثبات:** با وصل کردن مرکز دایره $O$ به نقاط $A$، $B$ و $M$ (طبق راهنمایی)، دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $OAM$ و $OBM$ تشکیل می‌شود. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ OA = OB $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۲) $ OM = OM $ | **(وتر)** وتر مشترک هر دو مثلث است. | | ۳) $ \angle OAM = \angle OBM = ۹۰^\circ $ | طبق قضیه‌ی خط مماس، شعاع دایره در نقطه‌ی تماس بر خط مماس عمود است. | | ۴) $ \triangle OAM \cong \triangle OBM $ | به حالت هم‌نهشتی **وتر و یک ضلع (و ض)** در مثلث‌های قائم‌الزاویه. | | ۵) $ MA = MB $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها (ضلع‌های قائمه‌ی دیگر) نیز با هم برابرند. |